DERIVADAS

 En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.¹​ Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

Definiciones de derivada[editar]

Derivada en un punto a partir de cocientes diferenciales[editar]

Recta secante entre f(x) y f(x+h)

La derivada de una función ${\displaystyle �}$ en el punto ${\displaystyle �}$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ${\displaystyle �}$ en el punto ${\displaystyle �}$. El valor de esta pendiente será aproximadamente igual a la pendiente de una recta secante a la gráfica que pase por el punto ${\displaystyle (�,�(�))}$ y por un punto cercano ${\displaystyle (�,�(�))}$; por conveniencia suele expresarse ${\displaystyle �=�+ℎ}$, donde ${\displaystyle ℎ}$ es un número cercano a 0. A partir de estos dos puntos se calcula la pendiente de la recta secante como

${\displaystyle \frac{�(�)-�(�)}{�-�}=\frac{�(�+ℎ)-�(�)}{ℎ}.}$

(Esta expresión se denomina «cociente diferencial» o «cociente de Newton».²​) A medida que el número ${\displaystyle ℎ}$ se acerca a cero, el valor de esta pendiente se aproximará mejor al de la recta tangente. Esto permite definir la derivada de la función ${\displaystyle �}$ en el punto ${\displaystyle �}$, denotada como ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)}$, como el límite de estos cocientes cuando ${\displaystyle ℎ}$ tiende a cero:

${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=\underset{ℎ\to 0}{lim}\frac{�(�+ℎ)-�(�)}{ℎ}}$.

No obstante, esta definición sólo es válida cuando el límite es un número real: en los puntos ${\displaystyle �}$ donde el límite no existe, la función ${\displaystyle �}$ no tiene derivada.

Inclinación de la secante de la curva y=f(x)

Derivada de una función[editar]

Una animación que da una idea intuitiva de la derivada, ya que el «swing» de una función cambia cuando cambia el argumento.

Dada una función ${\displaystyle �}$, se puede definir una nueva función que, en cada punto ${\displaystyle �}$, toma el valor de la derivada ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)}$. Esta función se denota ${\displaystyle {�}^{\prime }}$ y se denomina función derivada de ${\displaystyle �}$ o simplemente derivada de ${\displaystyle �}$. Esto es, la derivada de ${\displaystyle �}$ es la función dada por

${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=\underset{ℎ\to 0}{lim}\frac{�(�+ℎ)-�(�)}{ℎ}}$.

Esta función sólo está definida en los puntos del dominio de ${\displaystyle �}$ donde el límite existe; en otras palabras, el dominio de ${\displaystyle {�}^{\prime }}$ está contenido en el de ${\displaystyle �}$.

Ejemplos[editar]

Considere la función cuadrática ${\displaystyle �(�)={�}^2}$ definida para todo ${\displaystyle �\in \mathbb{�}}$. Se trata de calcular la derivada de esta función aplicando la definición

Para el caso general ${\displaystyle �(�)={�}^{�}}$ tendríamos

${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=\underset{ℎ\to 0}{lim}\frac{(�+ℎ{)}^{�}-{�}^{�}}{ℎ}}$

Teniendo en cuenta el teorema del binomio;

${\displaystyle (�+ℎ{)}^{�}=\sum _{�=0}^{�}(\genfrac{}{}{0ex}{}{�}{�}){�}^{�-�}{ℎ}^{�}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{�}{0}){�}^{�}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{�}{1}){�}^{�-1}ℎ+(\genfrac{}{}{0ex}{}{�}{2}){�}^{�-2}{ℎ}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{�}{�-1})�{ℎ}^{�-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{�}{�}){ℎ}^{�}}$

Tenemos;

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada#:~:text=La%20derivada%20de%20una%20función%20es%20un%20concepto%20local%2C%20es,función%20en%20un%20punto%20dado.